第2章 新手礼包！过目不忘就是爽！（2 / 2）
x22+x2?x+14=1\\frac{x^2}{2}+x^2-x+\\frac{1}{4}=12x2+x2?x+41=1
32x2?x?34=0\\frac{3}{2}x^2-x-\\frac{3}{4}=023x2?x?43=0
6x2?4x?3=06x^2-4x-3=06x2?4x?3=0
设(x?,y?)，N(x?,y?)，则x1+x2=46=23x_1+x_2=\\frac{4}{6}=\\frac{2}{3}x1+x2=64=32，x1x2=?36=?12x_1x_2=-\\frac{3}{6}=-\\frac{1}{2}x1x2=?63=?21。
ipi?ipNi=(x1?xp)2+(y1?yp)2?(x2?xp)2+(y2?yp)2|p|\\cdot|pN|=\\sqrt{(x_1-x_p)^2+(y_1-y_p)^2}\\cdot\\sqrt{(x_2-x_p)^2+(y_2-y_p)^2}ipi?ipNi=(x1?xp)2+(y1?yp)2?(x2?xp)2+(y2?yp)2
由于点,N在直线y=x?12y=x-\\frac{1}{2}y=x?21上，且p(1,1\/2)也在这条直线上（因为直线过p点），所以p和pN的表达式可以简化。
实际上，p是弦N上的一个定点。
ipi?ipNi=i(x1?xp)(x2?xp)i?(1+k2)|p|\\cdot|pN|=|(x_1-x_p)(x_2-x_p)|\\cdot(1+k_^2)ipi?ipNi=i(x1?xp)(x2?xp)i?(1+k2)，这里k=1k_=1k=1。
ipi?ipNi=ix1x2?xp(x1+x2)+xp2i?(1+12)|p|\\cdot|pN|=|x_1x_2-x_p(x_1+x_2)+x_p^2|\\cdot(1+1^2)ipi?ipNi=ix1x2?xp(x1+x2)+xp2i?(1+12)
ipi?ipNi=i?12?1(23)+12i?2=i?12?23+1i?2=i?3+4?66i?2=i?16i?2=13|p|\\cdot|pN|=|-\\frac{1}{2}-1(\\frac{2}{3})+1^2|\\cdot2=|-\\frac{1}{2}-\\frac{2}{3}+1|\\cdot2=|-\\frac{3+4-6}{6}|\\cdot2=|-\\frac{1}{6}|\\cdot2=\\frac{1}{3}ipi?ipNi=i?21?1(32)+12i?2=i?21?32+1i?2=i?63+4?6i?2=i?61i?2=31。
这个计算过程，秦风写得极为流畅。
接下来是计算|pA|·|pb|。
直线l的方程为y?12=?1(x?1)y-\\frac{1}{2}=-1(x-1)y?21=?1(x?1)，即y=?x+32y=-x+\\frac{3}{2}y=?x+23。
代入椭圆方程x22+y2=1\\frac{x^2}{2}+y^2=12x2+y2=1：
x22+(?x+32)2=1\\frac{x^2}{2}+(-x+\\frac{3}{2})^2=12x2+(?x+23)2=1
x22+x2?3x+94=1\\frac{x^2}{2}+x^2-3x+\\frac{9}{4}=12x2+x2?3x+49=1
32x2?3x+54=0\\frac{3}{2}x^2-3x+\\frac{5}{4}=023x2?3x+45=0
6x2?12x+5=06x^2-12x+5=06x2?12x+5=0
设A(x?,y?)，b(x?,y?)，则x3+x4=126=2x_3+x_4=\\frac{12}{6}=2x3+x4=612=2，x3x4=56x_3x_4=\\frac{5}{6}x3x4=65。
同样，p(1,1\/2)是弦Ab的中点。
ipAi?ipbi=i(x3?xp)(x4?xp)i?(1+kl2)|pA|\\cdot|pb|=|(x_3-x_p)(x_4-x_p)|\\cdot(1+k_l^2)ipAi?ipbi=i(x3?xp)(x4?xp)i?(1+kl2)，这里kl=?1k_l=-1kl=?1。
由于p是Ab中点，所以xp=x3+x42x_p=\\frac{x_3+x_4}{2}xp=2x3+x4，这意味着x3?xp=?(x4?xp)x_3-x_p=-(x_4-x_p)x3?xp=?(x4?xp)。
因此，ipAi?ipbi=ipAi2=(x3?xp)2(1+kl2)|pA|\\cdot|pb|=|pA|^2=(x_3-x_p)^2(1+k_l^2)ipAi?ipbi=ipAi2=(x3?xp)2(1+kl2)。
x3,x4x_3,x_4x3,x4是方程$6x^2-12x+5=0的两个根。判别式的两个根。判别式的两个根。判别式\\delta=(-12)^2-4\\cdot6\\cdot5=144-120=24＞0。。。x_{3,4}=\\frac{12\\p\\sqrt{24}}{12}=1\\p\\frac{2\\sqrt{6}}{12}=1\\p\\frac{\\sqrt{6}}{6}。所以，。所以，。所以，x_3=1-\\frac{\\sqrt{6}}{6}，，，x_4=1+\\frac{\\sqrt{6}}{6}(或相反，不影响结果)。(或相反，不影响结果)。(或相反，不影响结果)。|x_3-x_p|=|1-\\frac{\\sqrt{6}}{6}-1|=\\frac{\\sqrt{6}}{6}。。。|pA|^2=(\\frac{\\sqrt{6}}{6})^2(1+(-1)^2)=\\frac{6}{36}\\cdot2=\\frac{1}{6}\\cdot2=\\frac{1}{3}。所以，。所以，。所以，|pA|\\cdot|pb|=\\frac{1}{3}$。
“嗯？|p|·|pN|=1\/3，|pA|·|pb|=1\/3？”
秦风看着草稿纸上的结果，眼中闪过一丝明悟。
“如果|p|·|pN|=λ|pA|·|pb|恒成立，那么λ=1？”
他仔细检查了一遍自己的计算过程，每一个步骤都清晰无误。
“过目不忘”带来的不仅仅是记忆力，还有一种对细节的极致洞察力，让他很难在计算中出错。
而那7点的智力，虽然不高，但在此刻也发挥了关键作用，让他的逻辑推理能力上了一个小台阶。
【“过目不忘（体验版）”剩余时间：02分15秒。】
时间所剩无几！
秦风额头已经布满了汗珠，但他眼神却越来越亮。
他迅速整理思路，将整个解题过程清晰、完整地书写在另一张干净的草稿纸上。字迹虽然因为追求速度而略显潦草，但每一个步骤都条理清晰，逻辑严谨。
当他写下最后一个“综上所述，存在常数λ=1，使得等式恒成立”的结论时，脑海中的倒计时，正好跳到了“00分03秒”。
“呼——”
秦风长长地舒了一口气，整个人如同虚脱一般，靠在了椅背上。
几乎在同时，那种大脑如同超级计算机般高速运转、对一切信息过目不忘的奇异感觉，潮水般退去。
他的大脑恢复了往常的状态，甚至因为刚才的超负荷运转，还带着一丝轻微的疲惫和晕眩。
但他心中，却充满了前所未有的充实感和喜悦！
他做到了！
他竟然真的独立解决了一道连他自己都不敢想象的超级难题！
这种通过自身努力（虽然有系统辅助）攻克难关所带来的巨大成就感，是任何东西都无法比拟的！
学习，原来也可以这么爽！
就在这时，冰冷机械的系统提示音，如约而至：
【叮！新手任务：独立正确解答数学难题，已完成！】
【任务评价：优秀（解题思路清晰，步骤完整，用时57分57秒，符合预期）。】
【正在结算任务奖励……】
秦风的心脏不争气地加速跳动起来，眼中充满了期待。
【恭喜宿主获得奖励：10点学神积分！】
【恭喜宿主获得奖励：“初级数学思维”（碎片1\/3）！】
10点学神积分！
秦风的眼睛瞬间亮了！
在之前的系统介绍中，他隐约记得，积分似乎是系统商城里的硬通货，可以用来兑换各种神奇的道具和能力！这可是实打实的好东西！
而更让他惊喜的，是那个“初级数学思维”碎片！
就在系统提示音落下的瞬间，秦风感觉到一股微弱但却异常玄妙的暖流，从自己眉心处涌入大脑。
紧接着，他脑海中关于数学的那些零散的、通过“过目不忘”强行记忆下来的知识点，仿佛被一只无形的大手轻轻拨动了一下。
许多之前只是记住但并未完全理解透彻的公式定理，此刻竟然有了一种豁然开朗的感觉！
他对刚刚解出的那道复杂函数题，也有了更深一层的感悟。
如果让他现在重新做一遍，他甚至能隐约感觉到，除了自己刚才用的那种解法外，似乎还有其他更简洁、更巧妙的思路！
这种感觉非常奇妙，就像是原本混沌一片的数学世界，突然被点亮了一盏小小的明灯，虽然光芒微弱，却足以照亮一小片区域，让他对数学的感知和理解，都提升了一个微小的层次。
“这就是‘初级数学思维’碎片的效果吗？”秦风心中震撼。
仅仅是三分之一的碎片，就有如此效果，那若是集齐了完整的“初级数学思维”，甚至是更高级的数学思维，那自己岂不是真的能成为数学之神？
系统的神奇和强大，再一次刷新了他的认知。
他低头看了看自己因为长时间用力握笔而有些发红的手指，又看了看那张写满了推演过程的草稿纸。
虽然“过目不忘”的效果已经消失，但刚才那一个小时的疯狂学习和解题过程，却深深地烙印在了他的记忆中。那些被他“吞”下去的知识，并没有完全消失，而是有一部分，在他7点智力和“初级数学思维”碎片的影响下，真正开始沉淀下来，转化为他自己的东西。
“学神黑科技系统……”秦风的眼中闪烁着前所未有的光芒。
绝望早已被一扫而空，取而代之的，是熊熊燃烧的希望和斗志！
他知道，从激活这个系统开始，他的人生，已经彻底不一样了！
学渣的逆袭之路，才刚刚开始！
而他手中这10点宝贵的学神积分，以及那神秘的“初级数学思维”碎片，就是他踏上这条逆袭之路的第一桶金！
接下来，该好好研究一下，这10点积分，能给自己带来什么样的惊喜了！
秦风的嘴角，不由自主地扬起一抹充满期待的笑容。